> acl MYSITE-PUSH url_regex ^https:\/\/www\.site\.com\/push\/

А теперь подумай хорошенько, что именно найдет этот регэксп и почему сквид на твоем адресе с этим регэкспом скажет "не, не похоже, хозяин чо-та не то искать велел"
Если так и не сообразишь, смотри наглядно как твой регэксп себя ведет тут - https://regex101.com/

> http_access deny MYSITE-PUSH

debug_options 28,5 и изучать логи

> Squid Cache: Version 3.1.20

На дворе 4.8. Ну как минимум 3.5.28. Всеж-таки он у тебя в инет смотрит, а не в соседний комп...