Спасибо, но как оказалось все не так просто.
Оказывается после того как мы переходим в браузере по https://api.instagram.com/oauth/authorize/?client_id=CLIENT-...
нам нужно ввести в форму логин и пароль и нажать кнопку ОК.
Если они верные, то в следующем окне нужно нажать на кнопку Authorize. Только после этого нас перекидывают адрес с кодом в адресе страницы:
http://REDIRECT-URI.ru/#access_token=1234567890assdfg

Есть ли возможность отправить логин и пароль в форму с помощью curl или чего-нибудь еще, и после этого в новом окне еще раз нажать на кнопку, чтобы получить нужный ответ?

> LOCA=`curl -sI 'https://api.instagram.com/oauth/authorize/?client_id=CLIENT-...'
> |grep "^Location: "`; echo $LOCA;