> У меня складывается впечатление, что ты на математику смотришь не глазами математика,
> а глазами инженера. Например, какая разница математику, как там что-то считается?Ну, некоторые математики считают, что если мы что-то не можем посчитать (= определить
конструктивно), то этого чего-то и нету. Обман народа эти ваши доказательства существования.
Есенин-Вольпин писал, что нету натурального числа (достаточно большого), если
мы не можем до него досчитать.
> Методы вычислений -- это отдельная под-дисциплина в математике, которая даже и
> хрен знает, математика ли: пускай инженеришки всякие занимаются расчётами.
Под методами вычисления я подразумеваю что-то типа того,
что делают сегодня системы компьютерной алгебры (общие или специализированные). Т.е.
точное вычисление пределов, определенных (и не очень) интегралов и т.п. Не эту
вашу черную магию численных методов.
> Интеграл Лебега тут самая лучшая демонстрация, потому как интегралом Лебега очень удобно
> жонглировать математику, но если вдруг надо посчитать этот интеграл, или, не
> дай бог, "взять" его, то... упс... Интеграл Римана хоть иногда можно
> взять... Может мы прикинемся, что это интеграл Римана? Может никто не заметит?
Ну а можно зайти с тыла. Интеграл - это антипроизводная. Понятие дифференциальной
алгебры, вполне, пардон, алгебраическое. Соответственно, есть алгоритм Риша. Ну
или можно рассматривать специальные классы функций, замкнутые относительно
антипроизводной (напр., голономные).
>> У Лейбница и ко были очень механистическое отношение к математике, фактически это были первые "конструктивисты". Накосячить механизму очень сложно.
> Ты можешь это продемонстрировать?
Ну, это все-таки потребует некоторого знакомства с нестандартным анализом. Есть
старая, но хорошая (и тонкая) книжка Успенского. Что-то типа "Что такое
нестандартный анализ?" Там подробно, с примерами моделей гипердействительных
чисел и т.п.
> Как подход Лейбница спасёт от такой ошибки? Вот если я таким образом
> буду приближать кривую, то "правильный" матанализ должен сказать "не-не-не, ты делаешь
> не так" и дать объяснение тому, что не так
А "правильный" матанализ только и может, что подсказать тебе, что к таким-то пределом - что-то
не так. Типа, он не существует (зависит от группировки слагаемых и т.п.). Ну, с этим вполне
справятся современные алгоритмы вычисления пределов. Совершенно механические, без "правил
Лопиталля" и прочих гаданий на кофейной гуще.
Вот предложить правильный ряд - уже другая задача. Но ее как-бы не совсем матанализ решает)
> Лебег объяснил, что не так, и
> показал, что с интегралом Римана такие хрени будут возникать неизбежно. И
> объяснил как надо.
Лебег лишь предложил обобщение понятия интеграла на (значительно) более широкий
класс функций. С определением интегрирования по-Риману - все в порядке)
