Частично. Например, если вы перемещаете в функцию переменную (не ссылку) как аргумент (поведение по умолчанию), то, конечно, произойдёт копирование, потому что для вызова функции выделяется своя область стека (или свои регистры). Но, т.к. происходит move и оригинальная переменная становится недоступна, делается не глубокое, а простое, побитовое копирование, которое очень быстрое. То есть, если вы перемещаете HashMap в аргумент функции, то часть HashMap, находящаяся в heap, копироваться не будет:

fn f(x: HashMap<...>) {
    ...
}

let h = HashMap::new();
...
// В момент вызова функции переменная h перестаёт существовать
// В аргументе x лежит побитовая копия h, включая указатели на память в heap,
// которые уже недоступны через h, так что их можно безопасно копировать.
f(h);

С другой стороны, если вы перемещаете переменную в пределах блока - скажем, в новую переменную - то копирования вообще не будет, потому что компилятор просто "забудет" старое имя области памяти на стеке и даст ей новое:

let x = HashMap::new();
...
// Ничего не копируется, просто вместо x теперь y.
let y = x;

Но если вы переместите её в поле структуры, будет копирование, т.к. опять же для структуры создаётся своя область стека:

let x = HashMap::new();
...
let y = SomeStruct {
    some_field: x, // снова побитовое копирование
    ...
}